Lógica Difusa

LÓGICA DIFUSA

La lógica difusa fue investigada, por primera vez, a mediados de los años setenta en la Universidad de Berkeley (California) por el ingeniero Lofty A. Zadeh cuando se dio cuenta de lo que él llamó principio de incompatibilidad:”Conforma al complejidad de un sistema aumenta, nuestra capacidad para ser precisos y construir instrucciones sobre su comportamiento disminuye hasta el umbral más allá del cual, la precisión y el significado son características excluyentes”. Introdujo entonces el concepto de conjunto difuso (Fuzzy set) bajo el que reside la idea de que los elementos sobre lo que se construye el pensamiento humano no son números sino también etiquetas lingüísticas cualitativo y no necesariamente cuantitativo, en el lenguaje matemático a través de teoría de conjuntos difusos y funciones asociadas a ellos. Permite trabajar a la vez con datos numéricos y términos lingüísticos: los términos lingüísticos son inherentes menos precisos que los datos numéricos pero en muchas ocasiones aportan una información más útil para el horizonte humano.
Es la lógica que utiliza expresiones que no son ni totalmente ciertas ni totalmente falsas, es decir, es la lógica aplicada a conceptos que pueden tomar un valor cualquiera de veracidad dentro de un conjunto de valores que oscilan entre dos extremos, la verdad absoluta y la falsedad total.

La lógica difusa es una metodología que proporciona una manera simple y elegante de obtener una conclusión a partir de información de entrada vaga, ambigua, imprecisa, con ruido o incompleta, en general la lógica difusa imita como una persona toma decisiones basada en información con las características mencionadas.

En Psicología: Resolución de problemas que implica cierto grado de inferencia e intuición para lograr la conclusión propia; vista como una distinción crucial entre la inteligencia humana y la mecánica.
En Inteligencia Artificial: Método de razonamiento de maquina similar al pensamiento humano, que puede procesar información incompleta o incierta, característico de muchos sistemas expertos.

Conjuntos difusos
El concepto clave para entender como trabaja la lógica difusa es el de conjunto difuso, se puede definir un conjunto difuso de la siguiente manera.
Teniendo un posible rango de valores al cual llamaremos U, por ejemplo U=Rn, donde Rn es un espacio de n dimensiones, a U se le denominara Universo de Discurso. En U se tendrá un conjunto difuso de valores llamado F el cual es caracterizado por de una función de pertenencia uf tal que uf: U->[0, 1], donde uf(u) representa el grado de pertenencia de un u que pertenece a U en el conjunto difuso F.
Por ejemplo supongamos que se desea representar con conjuntos difusos la variable altura de una persona, en este caso el universo de discurso será el rango de posibles valores de la altura que tenga un persona adulta, se escogerá un rango entre 140 cm y 200 cm, valores por fuera de este rango son posibles pero son muy escasos. El universo de discurso U = [140, 200], para denominar los conjuntos difusos se suelen trabajar con etiquetas lingüísticas similares a las que se usan de manera coloquial por ejemplo, en la vida diaria decimos que una persona es Muy Baja (MB), Baja (B), Mediana (M), Alta (Alta) y Muy Alta (MA)


Etiqueta Rango [min, max]
MB [140,160]
B [160,170]
M [170,180]
A [180,190]
MA [190,200]

Figura No. 1 Conjuntos difusos para la altura de una persona


Operaciones entre conjuntos difusos

En la figura 3, se muestran dos conjuntos difusos los cuales nos servirán para definir las operaciones fundamentales que entre ellos se pueden realizar.

Figura No. 3 Conjuntos difusos entre los se definirán las operaciones
Intersección.
La idea intuitiva de intersección heredada de los conjuntos clásicos expresa que el conjunto intersección de dos conjuntos A y B, se define como los elementos que están en el conjunto A Y en el conjunto B; de esta manera la intersección entre conjuntos se puede entender como el una operación tipo AND entre los mismos.
Siguiendo esta idea, se podría graficar la intersección de los conjuntos difusos mostrados en la figura 3.




Figura No. 4 Intersección entre dos conjuntos difusos

De manera similar a como se define el nivel de pertenencia a un conjuntos difuso, vamos a encontrar el nivel de pertenencia de valor x= 4.5 a la intersección de los dos conjuntos difusos mostrados.

Figura No. 5 Cual es el valor de pertencia de x=4.5 a la intersección de los conjuntos difusos A y B

Gráficamente se que el valor x=4.5 tiene un nivel de pertenencia de 0.8 al conjunto A y de 0.2 al conjunto B, y el valor de pertenencia de x= 4.5 a la intersección (zona sombreada) se desea expresar como una operación entre estos valores se observa que de estos dos valores, el que "toca" la zona sombreada es el de 0.2 por lo que de manera intuitiva se puede afirmar que el valor de pertenencia del valor dado a la intersección de los conjuntos A y B es el valor mínimo de los valores de pertenencia del dicho valor a los conjuntos de manera individual, de manera matemática lo anterior se puede expresar así:

Unión.
La idea intuitiva de unión herededa de los conjuntos clásicos expresa que el conjunto unión de dos conjuntos A y B, se define como los elementos que están en el conjunto A OR están en el conjunto B. de esta manera la intersección entre conjuntos se puede entender como el una operación tipo OR entre los mismos.Siguiendo esta idea, se podría graficar la unión de los conjuntos difusos mostrados en la figura 3.

Figura No. 6 Unión entre dos conjuntos difusos

De manera similar a como se define el nivel de pertenencia a un conjuntos difuso, vamos a encontrar el nivel de pertenencia de valor x = 4.5 a la unión de los dos conjuntos difusos mostrados.
Figura No. 7 Cual es el valor de pertencia de x=4.5 a la unión de los conjuntos difusos A y B

Gráficamente se que el valor x=4.5 tiene un nivel de pertenencia de 0.8 al conjunto A y de 0.2 al conjunto B, y el valor de pertenencia de x= 4.5 a la unión (zona sombreada) se desea expresar como una operación entre estos valores se observa que de estos dos valores, el que "toca" la zona sombreada es el de 0.8 por lo que de manera intuitiva se puede afirmar que el valor de pertenencia del valor dado a la unión de los conjuntos A y B es el valor máximo de los valores de pertenencia de dicho valor a los conjuntos de manera individual, de manera matemática lo anterior se puede expresar así:

Complemento.
En conjuntos clásicos se define el complemento como el conjunto de los elementos que le faltan a un conjunto para ser igual al conjunto universo.
De la misma manera en conjuntos difusos se habla del complemento como el conjunto formado por los valores de pertencias que le permitirían al conjunto obtener el valor máximo de pertenencia posible, siendo 1 el valor máximo de pertenencia que un conjunto difuso puede suministrar, este conjunto se podría formar restando le a 1 los valores de pertenencia del conjunto difuso al que se desea encontrar el complemento.
Gráficamente esto se visualiza así:
Figura No. 8 Complemento de un conjunto difuso

En la grafica anterior el conjunto complemento se ha dibujando con trazo negro. De manera similar a como se define el nivel de pertenencia a un conjuntos difuso, vamos a encontrar el nivel de pertenencia de valor x =6 al complemento del conjunto difusos A

Figura No. 9 Cual es el valor de pertencia de x=6 al complemento del conjunto difusos A

En x=6 se observa que el valor de pertenencia al conjunto A es de 0.8, si pensamos en el complemento como lo que le falta a esta valor para alcanzar el máximo valor posible se que es 1 se tendría que el nivel del pertencia de x=6 al complemento es de 0.2, el la grafica se puede verificar esta conclusión. Matemáticamente esta operación se expresa así:

Referencias:
Jesús Alfonso López. Lógica Difusa: Introducción y conceptos básicos. Actualización: 12 mayo 2001. Recuperado el 17 de febrero de 2009, de: http://members.tripod.com/jesus_alfonso_lopez/FuzzyIntro.html

Descripción General de las técnicas de lógica difusa. Recuperado el 17 de febrero de 2009, de
http://www.tdr.cesca.es/TESIS_UPC/AVAILABLE/TDX-0207105-105056//04Rpp04de11.pdf
Lógica Difusa. Recuperado el 17 de febrero de 2009, de:
http://www.dei.uc.edu.py/tai2000/logica/3.htm